NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5.3 arithmetic progression in hindi

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5.3 arithmetic progression in hindi

एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ प्रश्नावली 5.3 समाधान हिंदी में: क्या आप कक्षा 10 के गणित के एनसीईआरटी समाधान हिंदी में खोज रहे हैं, यदि हाँ तो आप सही जगह पर आए हैं? हमारे विशेषज्ञ ने सभी विषयों के लिए एनसीईआरटी कक्षा 10 के समाधान बहुत ही वर्णनात्मक तरीके से बनाए हैं ताकि कोई भी छात्र इसे आसानी से समझ सके। हिंदी में यह समाधान सभी छात्रों के लिए बहुत मददगार होने वाला है। हमने सभी विषयों के एनसीईआरटी कक्षा 10 के नोट्स भी बहुत ही सरल तरीकों से हिंदी में बनाए हैं।

अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ प्रश्नावली 5.3

1.निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……………. 10 पदों तक।

हल:

पहला पद, a = 2

सार्वान्तर, d = a₂ – a₁ = 7 − 2 = 5

पदों की संख्या, n = 10

हम जानते हैं कि,

n पदों का योग, \( s_{n}=\;\frac{n}{2}\left [ 2a\;+\;(n\;-\;1)d \right ]\)

⇒ s₁₀ = \(\frac {10}2\)[ 2 × 2 + (10 – 1) × 5 ]

⇒ s₁₀ = 5[ 4 + (9)×(5) ]

⇒ s₁₀ = 5[ 4 + 45 ]

⇒ s₁₀ = 5 × 49

⇒ s₁₀ = 245

अत:, 10 पदों तक का योग = 245 (उत्तर)

(ii) -37, -33, -29, …………….. 12 पदों तक।

हल:

पहला पद, a = −37

सार्वान्तर, d = a₂ – a₁ = −33 − (−37)  = −33 + 37 = 4

पदों की संख्या, n = 12

हम जानते हैं कि,

n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\)[ 2a + (n − 1)d ]

⇒ S₁₂ = \(\frac {12}2\)[ 2(−37) + (12 − 1)4 ]

⇒ S₁₂ = 6[ −74 + 44 ]

⇒ S₁₂ = 6 × (−30)

⇒ S₁₂ = −180

अत:, 12 पदों तक का योग = −180 (उत्तर)

(iii) 0.6,1.7,2.8, ………………. 100 पदों तक।

हल:

पहला पद, a = 0.6

सार्वान्तर, d = a₂ − a₁ = 1.7 − 0.6 = 1.1

पदों की संख्या, n = 100

हम जानते हैं कि,

n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\)[ 2a + (n − 1)d ]

⇒ S₁₀₀ = \(\frac {100}2\) [ 1.2 + (100 – 1)×1.1 ]

⇒ S₁₀₀ = \(\frac {100}2\) [ 1.2 + (99) × 1.1 ]

⇒ S₁₀₀ = 50[ 1.2 + 108.9 ]

⇒ S₁₀₀ = 50 [110.1]

⇒ S₁₀₀ = 5505

अत:, 100 पदों तक का योग = 5505 (उत्तर)

(iv) \(\frac 1{15}\), \(\frac 1{12}\), \(\frac 1{10}\), ……….. 11 पदों तक।

हल:

पहला पद, a = \(\frac 1{15}\)

सार्वान्तर, d = a₂ – a₁ =\(\frac 1{12}\;-\;\frac 1{15}\) = \(\frac {5\;-\;4}{60}\) = \(\frac 1{60}\)

पदों की संख्या, n = 11

हम जानते हैं कि,

n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\)[ 2a + (n − 1)d ]

⇒ \(s_{11}=\;\frac{11}{2} \left [ 2\left ( \frac{1}{15} \right )\;+\;(11 – 1)\frac{1}{60} \right ]\)

⇒ \(s_{11}=\;\frac{11}{2} \left [ \frac{2}{15}\;+\;\frac{10}{60} \right ]\)

⇒ \(s_{11}=\;\frac{11}{2} \left ( \frac{8\;+\;10}{60} \right )\)

⇒ \(s_{11}=\;\frac{11}{2} \times \frac{18}{60}\)

⇒ \(s_{11}=\;\frac{99}{60}\)

⇒ \(s_{11}=\;\frac{33}{20}\)

⇒ \(s_{11}=\;1\frac{13}{20}\)

अत:, 11 पदों तक का योग = \(1\frac{13}{20}\) (उत्तर)

2. नीचे दिए गए योगफलों को ज्ञात कीजिए :

(i) 7 + \(10\frac 12\) + 14 + …… + 84

हल:

पहला पद,  a = 7

सार्वान्तर, d = a₂ – a₁ = \(10\frac 12\) – 7 = \(\frac {21}2\) – 7 = \(\frac 72\)

माना, A.P. का nवां पद 84 है।

nवां पद, a_n = 84

हम जानते हैं कि,

a_n = a(n – 1)d

⇒ 84 = 7 + (n – 1)× \(\frac 72\)

⇒ 84 – 7 = (n – 1)× \(\frac 72\)

⇒ 77 = (n – 1)× \(\frac 72\)

⇒ 11 = (n – 1)× \(\frac 12\)

⇒ 22 = n − 1

⇒ n = 22 + 1

⇒ n = 23

हम जानते हैं कि,

n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\)( a + l ), [ ∵ a_n = l ]

⇒ S₂₃ = \(\frac {23}2\) (7+84)

⇒ S₂₃  = \(\frac {23}2\) × 91

⇒ S₂₃  = \(\frac {2093}2\)

⇒ S₂₃  = \(1046\frac 12\)

अत:, दिये गये A.P. का योग, S₂₃  = \(1046\frac 12\) (उत्तर)

(ii) 34 + 32 + 30 + ……….. + 10

हल:

पहला पद, a = 34

सार्वान्तर, d = a₂ − a₁ = 32 − 34 = − 2

माना, A.P. का nवां पद 10 है।

nवां पद, a_n= 10

हम जानते हैं कि,

a_n = a(n – 1)d

⇒ 10 = 34 + (n − 1)(−2)

⇒ 10 – 34 = (n – 1)(- 2)

⇒ − 24 = (n − 1)(− 2)

⇒ 12 = n − 1

⇒ n = 12 + 1

⇒ n = 13

हम जानते हैं कि,

n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\)( a + l ), [ ∵ a_n = l ]

⇒ S₁₃ = \(\frac {13}2\) (34 + 10)

⇒ S₁₃ = \(\frac {13}2\) × 44

⇒ S₁₃ = 13 × 22

⇒ S₁₃ = 286

अत:, दिये गये A.P. का योग, S₁₃  = 286 (उत्तर)

(iii) − 5 + (− 8) + (− 11) + ………… + (− 230)

हल:

पहला पद,  a = −5

सार्वान्तर d = a₂ − a₁ = (−8) − (−5) = − 8 + 5 = −3

माना, A.P. का nवां पद − 230 है।

nवां पद, a_n= − 230

हम जानते हैं कि,

a_n = a(n – 1)d

⇒ −230 = − 5+(n − 1)(−3)

⇒ −230 + 5 = (n – 1)(-3)

⇒ −225 = (n−1)(−3)

⇒ n – 1 = \(\frac {-\;225}{-\;3}\)

⇒ n − 1 = 75

⇒ n = 75 + 1

⇒ n = 76

n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\)( a + l ), [ ∵ a_n = l ]

⇒ S₇₆ = \(\frac {76}2\) [(-5) + (-230)]

⇒ S₇₆ = 38(- 235)

⇒ S₇₆ = − 8930

अत:, दिये गये A.P. का योग, S₇₆ = − 8930 (उत्तर)

3. एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ 50 = 5 + (n − 1)3

⇒ 50 − 5 = (n − 1)3

⇒ (n − 1)3 = 45

⇒ n − 1 = \(\frac {45}3\)

⇒ n = 15 + 1

⇒ n = 16

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ a + a_n ]

⇒ S₁₆ = \(\frac {16}2\) [ 5 + 50 ]

⇒ S₁₆ = 8 × 55

⇒ S₁₆ = 440

अत:, n = 16 तथा S_n = 440. (उत्तर)

(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₁₃ = 7 + (13 − 1)d

⇒ 35 = 7 + 12d

⇒ 35 – 7 = 12d

⇒ 12d = 28

⇒ d = \(\frac {28}{12}\;=\;\frac 73\)

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ a + a_n ]

⇒ S₁₃ = \(\frac {13}2\) [ 7 + 35 ]

⇒ S₁₃ = \(\frac {13}2\) × 42

⇒ S₁₃ = 13 × 21

⇒ S₁₃ = 273

अत:, d = \(\frac 73\) तथा S₁₃ = 273. (उत्तर)

(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₁₂ = a + (12 − 1)3

⇒ 37 = a + 33

⇒ a = 37 − 33 = 4

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ a + a_n ]

⇒ S₁₂ = \(\frac {12}2\) [ 4 + 37 ]

⇒ S₁₂ = 6 × 41

⇒ S₁₂ = 246

अत:, a = 4 तथा S₁₂ = 246 (उत्तर)

(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₃ = a + (3 − 1)d

⇒15 = a + 2d   …………………….. (i)

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ 2a + (n – 1)d ]

⇒ S₁₀ = \(\frac {10}2\) [ 2a + (10 − 1)d]

⇒ 125 = 5 [ 2a + 9d ]

⇒ \(\frac {125}5\) = 2a + 9d

⇒ 25 = 2a + 9d …………………….. (ii)

समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर,

30 = 2a + 4d  …………………….. (iii)

समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर,

30 − 25 = (2a + 4d) − (2a + 9d)

⇒ 5 = 2a + 4d − 2a − 9d

⇒ 5 = − 5d

⇒ d = − 1

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

15 = a + 2 × (−1)

⇒15 = a − 2

⇒ a = 15 + 2

⇒ a = 17

अब,  a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₁₀ = 17 + (10 − 1)(−1)

⇒ a₁₀ = 17 + 9(−1)

⇒ a₁₀ = 17 − 9

⇒ a₁₀ = 8

अत:, d = − 1 तथा a₁₀ = 8. (उत्तर)

(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ 2a + (n − 1)d ]

⇒ S₉ = \(\frac 92\) [ 2a + (9 − 1)5 ]

⇒ 75 = \(\frac 92\) [ 2a + 8×5 ]

⇒ 75 = \(\frac 92\) [ 2a + 40 ]

⇒ 75 =\(\frac 92\) × 2 [a + 20]

⇒ 75 = 9[a + 20]

⇒ 75 = 9a + 180

⇒ 9a = 75 − 180 = −105

⇒ a = \(\frac {-\;105}9\)

⇒ a = \(\frac {-\;35}3\)

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

a₉ = \(\frac {-\;35}3\) + (9 − 1)5

⇒ a₉ = \(\frac {-\;35}3\) + 8×5

⇒ a₉ = \(\frac {-\;35}3\) + 40

⇒ a₉ = \(\frac {-\;35\;+\;120}3\)

⇒ a₉ = \(\frac {85}3\)

अत:, a = \(\frac {-\;35}3\) तथा a₉ = \(\frac {85}3\). (उत्तर)

(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

⇒ 90 = \(\frac n2\) [ 2×2 + (n − 1)8 ]

⇒ 90 = \(\frac n2\) (4 + 8n − 8)

⇒ 90×2 = n (8n − 4)

⇒ 180 = 8n² − 4n

⇒ 8n² − 4n − 180 = 0

⇒ 4 (2n² − n − 45) = 0

⇒ 2n² − n − 45 = 0

⇒ 2n² − 10n + 9n − 45 = 0

⇒ 2n(n − 5) + 9(n − 5) = 0

⇒ (n − 5)(2n + 9) = 0

अथवा, n – 5 = 0 or, 2n + 9 = 0

⇒ n = 5 or, n = \(-\;\frac 92\) [n का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है]

∴ n = 5

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₅ = 2 + (5 − 1)8

⇒ a₅ = 2 + 4×8 = 2 + 32

⇒ a⁵ = 34

अत:, n = 5 तथा a_n = 34 (उत्तर)

(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ a + a_n ]

⇒ 210 = \(\frac n2\) (8 + 62)

⇒ 210 = \(\frac n2\) × 70

⇒ 35n = 210

⇒ n = \(\frac {210}{35}\)

⇒ n = 6

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ 62 = 8 + (6 – 1)d

⇒ 62 = 8 + 5d

⇒ 62 – 8 = 5d

⇒ 5d  = 54

⇒ d = \(\frac {54}5\) = 10.8

अत:, n = 6 तथा d = 10.8 (उत्तर)

(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ 4 = a + (n − 1)2

⇒ 4 = a + 2n − 2

⇒ 4 + 2 = a + 2n

⇒ a + 2n  = 6

⇒ a = 6 − 2n …………………………. (i)

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ a + a_n ]

⇒ − 14 = \(\frac n2\) (a + 4)

⇒ −28 = n (a + 4)

समीकरण (i) से a का मान रखने पर,

⇒ −28 = n (6 − 2n + 4)

⇒ −28 = n (− 2n + 10)

⇒ −28 = − 2n² + 10n

⇒ 2n² −10n − 28 = 0

⇒ 2(n² − 5n − 14) = 0

⇒ n² − 5n − 14 = 0

⇒ n² − 7n + 2n −14 = 0

⇒ n(n − 7) + 2(n  − 7) = 0

⇒ (n − 7)(n + 2) = 0

अथवा, n − 7 = 0 or n + 2 = 0

⇒ n = 7 or n = −2  [n का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है]

∴ n = 7

n का मान समीकरण (i) में रखने पर,

a = 6 − 2n

a = 6 − 2(7)

= 6 − 14

= − 8

अत:, n = 7 तथा a = −8 (उत्तर)

(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [ 2a + (n – 1)d ]

⇒ 192 = \(\frac 82\)  [ 2×3 + (8 – 1)d ]

⇒ 192 = 4 [ 6 + 7d ]

⇒ \(\frac {192}4\) = 6 + 7d

⇒ 48 = 6 + 7d

⇒ 48 – 6 = 7d

⇒ 42 = 7d

⇒ d = \(\frac {42}7\)

⇒ d = 6

अत:, d = 6 (उत्तर)

(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) (a + l)

⇒ 144 = \(\frac 92\) (a + 28)

⇒ \(\frac {144\times\;2}9\) = (a + 28)

⇒ 32 = a + 28

⇒ a = 32 − 28

⇒ a = 4

अत:, a = 4 (उत्तर)

4. 636 योग प्राप्त करने के लिए A.P. : 9, 17, 25, ……… के कितने पद लेने चाहिए?

हल:

प्रथम पद, a = 9

सार्व अंतर, d = 17 − 9 = 8

S_n = 636

n = ?

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

636 = \(\frac n2\) [2×9 + (n − 1)8]

⇒ 636 = \(\frac n2\) ( 18 + 8n − 8)

⇒636=\(\frac n2\) (8n + 10)

⇒ 636 = \(\frac n2\) × 2(4n + 5)

⇒ 636 = n(4n + 5)

⇒ 636 = 4n² + 5n

⇒ 4n² + 5n − 636 = 0

⇒ 4n² + 53n − 48n − 636 = 0

⇒ n(4n+53) – 12(4n+53) = 0

⇒ (4n + 53)(n − 12) = 0

अथवा, 4n + 53 = 0 or, n – 12 = 0

⇒ n = \(\frac {-\;53}4\) or, n = 12  [n का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है]

अत:, 636 योग प्राप्त करने के लिए 12 पद लेने चाहिए। (उत्तर)

5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रथम पद, a = 5

अन्तिम पद, l = 45

प्रथम n पदों का योग, S_n = 400

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) (a + l)

⇒ 400 = \(\frac n2\) (5 + 45)

⇒ 400 = \(\frac n2\) × 50

⇒ 400 = 25n

⇒ n = \(\frac {400}{25}\)

⇒ n = 16

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₁₆ = 5 + (16 − 1)d

⇒ 45 = 5 + 15d

⇒ 45 − 5 = 15d

⇒ 40 = 15d

⇒ d = \(\frac {40}{15}\)

⇒ d = \(\frac {8}{3}\)

अत:, पदों की संख्या, n = 16 तथा सार्व अंतर,  d = \(\frac {8}{3}\) (उत्तर)

6. किसी A.P. के प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग कितना है?

हल:

प्रथम पद, a = 17

अन्तिम पद, l = 350

सार्व अंतर, d = 9

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d

⇒ 350 = 17 + (n − 1)9

⇒ 350 − 17 = (n−1)9

⇒ n − 1 = \(\frac {333}9\)

⇒ n − 1 = 37

⇒ n = 37 + 1

⇒ n = 38

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) (a + l)

⇒ S₃₈ = \(\frac {38}2\) (17 + 350)

⇒ S₃₈ = 19 × 367

⇒ S₃₈ = 6973

अत:, पदों की संख्या, n = 38 तथा उनका योग = 6973. (उत्तर)

7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

हल:

यहाँ, a₂₂ = 149

सार्व अंतर, d = 7

हम जानते हैं कि, a_n = a + (n − 1)d

⇒ a₂₂ = a + (22 − 1)7

⇒ 149 = a + 21×7

⇒ 149 = a + 147

⇒ a = 149 − 147

⇒ a = 2

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग,  S_n = \(\frac n2\) [a + a_n]

⇒ S₂₂ = \(\frac {22}2\) (2 + 149)

⇒ S₂₂ = 11 × 151

⇒ S₂₂ = 1661

अत:, प्रथम 22 पदों का योग, S₂₂ = 1661 (उत्तर)

8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

हल:

दूसरा पद, a₂ = 14

तीसरा पद, a₃ = 18

पदों की संख्या, n = 51

सार्व अंतर,, d = a₃ − a₂ = 18 − 14 = 4

∴ a₂ = a + d

⇒ 14 = a + 4

⇒ 14 – 4 = a

⇒ a = 10

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

⇒ S₅₁ = \(\frac {51}2\) [2×10 + (51 − 1)4]

⇒ S₅₁ = \(\frac {51}2\) ×2 [10 + (50)2 ]

⇒ S₅₁ = 51 (10 + 100)

⇒ S₅₁ = 51 × 110

⇒ S₅₁ = 5610

अत:, प्रथम 51 पदों का योग, S₅₁ = 5610 (उत्तर)

9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, S₇ = 49

तथा S₁₇ = 289

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

⇒ S₇ = \(\frac 72\) [2a + (7 − 1)d]

⇒ 49 = \(\frac 72\) [2a + 6d]

⇒ 49 = \(\frac 72\) × 2 (a + 3d)

⇒ \(\frac {49}7\) = a + 3d

⇒ 7 = a + 3d ……………………………. (i)

इसी तरह से,

⇒ S₁₇ = \(\frac {17}2\) [2a + (17 − 1)d]

⇒ 289 = \(\frac {17}2\) [2a + 16d]

⇒ 289 = \(\frac {17}2\) × 2 [a + 8d]

⇒ 289 = 17 (a + 8d)

⇒ \(\frac {289}{17}\) = a + 8d

⇒ 17 = a + 8d ……………………………. (ii)

समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,

⇒ 17 − 7 = a + 8d − (a + 3d)

⇒ 10 = a + 8d − a − 3d

⇒ 10 = 5d

⇒ d = \(\frac {10}5\)

⇒ d = 2

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

7 = a + 3× 2

⇒ a + 6 = 7

⇒ a = 7 − 6 = 1

अब,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2×1 + (n − 1)2]

⇒ S_n = \(\frac n2\) × 2[1 + n − 1]

⇒ S_n = n × n

⇒ S_n = n²

अत:, प्रथम n पदों का योग, = n² (उत्तर)

10. दर्शाइए कि a₁, a₂, ……… a_n, ….. एक AP बनाती है। यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं:

(i) a_n = 3 + 4n

हल:

दिया गया है, a_n = 3 + 4n

a₁ = 3 + 4×1 = 3 + 4 = 7

a₂ = 3 + 4×2 = 3 + 8 = 11

a₃ = 3 + 4×3 = 3 + 12 = 15

a₄ = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19

यहाँ, सार्वान्तर

a₂ − a₁ = 11 − 7 = 4

a₃ − a₂ = 15 − 11 = 4

a₄ − a₃ = 19 − 15 = 4

यहाँ, a_k+1 − a_k = 4 क्रमागत पदों में अंतर समान है। अतः, दिया गया सूची A.P. है।

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₁₅ = \(\frac {15}2\) [2×7 + (15 − 1)4]

S₁₅ = \(\frac {15}2\) × 2 (7 + 14×2)

S₁₅ = 15(7 + 28) = 15×35

⇒ S₁₅ = 525

अत:, प्रथम 15 पदों का योग, = 525 (उत्तर)

(ii) a_n = 9 – 5n

हल:

दिया गया है, a_n = 9 − 5n

a₁ = 9 − 5×1 = 9 − 5 = 4

a₂ = 9 − 5×2 = 9 − 10 = − 1

a₃ = 9 − 5×3 = 9 − 15 = − 6

a₄ = 9 − 5×4 = 9 − 20 = − 11

यहाँ, सार्वान्तर

a₂ − a₁ = − 1 − 4 = − 5

a₃ − a₂ = − 6 − (− 1) = − 5

a₄ − a₃ = − 11 − (− 6) = − 5

यहाँ, a_k+1 − a_k = 4 क्रमागत पदों में अंतर समान है। अतः, दिया गया सूची A.P. है।

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₁₅ = \(\frac {15}2\) [2×4 + (15 − 1)(−5)]

⇒ S₁₅ = \(\frac {15}2\) [8 + 14×(−5)]

⇒ S₁₅ = \(\frac {15}2\) [8 − 70]

⇒ S₁₅ = \(\frac {15}2\) × (−62)

⇒ S₁₅ =15 × (−31)

⇒ S₁₅ = − 465

अत:, प्रथम 15 पदों का योग, = − 465 (उत्तर)

11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, S_n = 4n − n²

प्रथम पद, a = S₁ = 4(1) − (1)² = 4−1 = 3

प्रथम दो पदों का योग = S₂ = 4(2) − (2)² = 8 − 4 = 4

दूसरा पद, a₂ = S₂ − S₁ = 4−3 = 1

सार्व अंतर, d = a₂ − a = 1 − 3 = −2

हम जानते हैं कि,

a_n = a + (n − 1)d 

⇒ a_n  = 3 + (n − 1)( −2)

⇒ a_n  = 3 − 2n + 2

⇒ a_n = 5 − 2n

∴ a₃ = 5 − 2(3) = 5 – 6 = − 1

a₁₀ = 5 − 2(10) = 5 − 20 = − 15

अत:, प्रथम दो पदों का योग, = S₁ + S₂ = 3 + 1 = 4. (उत्तर)

12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

हल:

6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं: 6, 12, 18, 24…..

पहला पद, a = 6

सार्व अंतर, d = 12 – 6 = 6

पदों की संख्या, n = 40

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₄₀ = \(\frac {40}2\) [2×6 + (40 − 1)6]

⇒ S₄₀ = 20 (12 + 39×6)

⇒ S₄₀ = 20 (12 + 234)

⇒ S₄₀ = 20 × 246

⇒ S₄₀ = 4920

अत:, 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग = 4920  (उत्तर)

13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32….

पहला पद, a = 8

सार्व अंतर, d = 16 – 8 = 8

पदों की संख्या, n = 15

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₁₅ = \(\frac {15}2\) [2×8+(15 − 1)8]

= \(\frac {15}2\) [16 + 14×8]

= \(\frac {15}2\) [16 + 112]

= \(\frac {15}2\) × 128

= 15 × 64

S₁₅ = 960

अत:, 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग = 960. (उत्तर)

14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ : 1, 3, 5, 7, ..… 49

पहला पद, a = 1

सार्व अंतर, d = 3 – 1 = 2

पदों की संख्या, n = \(\frac {50}2\) = 25

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₂₅ = \(\frac {25}2\) [1×2 + (25 − 1)2]

= \(\frac {25}2\) (2 + 24×2)

= \(\frac {25}2\) (2 + 48)

= \(\frac {25}2\) × 50

= 25 × 25

S₂₅ = 625

अत:, 0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग = 625 (उत्तर)

15. निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए रू. 200, दूसरे दिन के लिए रू. 250, तीसरे दिन के लिए रू. 300 इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से रू. 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है?

हल:

पहला पद, a = 200

सार्व अंतर, d = 250 – 200 = 50

पदों की संख्या, n = 30

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

⇒ S₃₀ = \(\frac {30}2\) [2×200 + (30 − 1)50]

⇒ S₃₀ = 15 (400 + 29×50)

⇒ S₃₀ = 15 (400 + 1450)

⇒ S₃₀ = 15 × 1850

⇒ S₃₀ = 27750

अत:, जुर्माने के रूप में कुल रू. 27,750 राशि अदा करनी पड़ेगी। (उत्तर)

16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों के उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 पुरस्कार देने के लिए रू. 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से रू. 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

पदों की संख्या, n = 7

सार्व अंतर, d = 20

प्रथम 7 पदों का योग, S₇ = 700

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₇ = \(\frac 72\) [2a + (7 − 1)20 ]

⇒ 700 = \(\frac 72\) (2a + 6×20)

⇒ 700 = \(\frac 72\) (2a + 120)

⇒ 700 = \(\frac 72\) × 2 (a + 60)

⇒ 700 = 7 (a + 60)

⇒ a + 60 = \(\frac {700}7\)

⇒ a + 60 = 100

⇒ a = 100 − 60

⇒ a = 40

a₂ = a + d = 40 + 20 = 60

a₃ = a₂ + d = 60 + 20 = 80

a₄ = a₃ + d = 80 + 20 = 100

a₅ = a₄ + d = 100 + 20 = 120

a₆ = a₅ + d = 120 + 20 = 140

a₇ = a₆ + d = 140 + 20 = 160

अत:, प्रत्येक पुरस्कार का मान : रू. 160, रू. 140, रू. 120, रू. 100, रू. 80, रू. 60, रू. 40 (उत्तर)

17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ कक्षा I का एक अनुभाग पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

हल:

विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की A.P. संख्या : 1, 2, 3, 4, 5…………..12

पहला पद, a = 1

सार्व अंतर, d = 2 − 1 = 1

पदों की संख्या, n = 12

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₁₂ = \(\frac {12}2\) [2(1) + (12 – 1)(1)]

S₁₂ = 6(2 + 11)

S₁₂ = 6 × 13

S₁₂ = 78

अत:, एक अनुभाग द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 78

अत:, तीन अनुभाग द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या = 3 × 78 = 234 (उत्तर)

18. केन्द्र A से आरम्भ करते हुए बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ……… वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति 5.1 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (π = \(\frac {22}7\) लीजिए।)

हल:

अर्द्धवृत्त की त्रिज्या : 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ….

हम जानते हैं कि,

अर्द्धवृत्त की परिमाप = πr

माना, P_1, P₂, P₃ अर्द्धवृत्त की लम्बाई है।

अत:,

_P1 = π(0.5) = \(\frac π2\) cm

_P2 = π(1) = π cm

_P3 = π(1.5) = \(\frac {3π}2\) cm

अत:, पहला पद, a = \(\frac π2\) = 0.5π

सार्व अंतर, d = P₂ – P₁ = π – \(\frac π2\) = \(\frac π2\) = 0.5π

अर्द्धवृत्तों की संख्या, n = 13

पदों की संख्या, n=13

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₁₃ = \(\frac {13}2\) [2×0.5π + (13 − 1)0.5π]

=\(\frac {13}2\) [ π + 12 × 0.5π ]

= \(\frac {13}2\) [ π + 6π]

= \(\frac {13}2\) × 7π

= \(\frac {13}2\) × 7 × \(\frac {22}7\)

= 13 × 11

S₁₃ = 143

अत:, सर्पिल की कुल लम्बाई = 143 cm (उत्तर)

19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्टे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे इत्यादि (देखिए संलग्न आकृति 5.2)। ये 200 लट्टे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

हल:

पहला पद, a = 20

सार्व अंतर, d = a₂ − a₁ = 19 − 20 = −1

S_n = 200

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

⇒ 200 = \(\frac n2\) [2 × 20 + (n − 1)×(-1)]

⇒ 400 = n(40 − n + 1)

⇒ 400 = n (41 − n)

⇒ 400 = 41n − n²

⇒ n² − 41n + 400 = 0

⇒ n² − 25n − 16n + 400 = 0

⇒ n(n − 25) − 16(n − 25) = 0

⇒ (n − 25)(n − 16) = 0

या तो, n − 25 = 0 or, n − 16 = 0

⇒ n = 25 or, n = 16

a_n = a + (n − 1)d

a₂₅ = 20 + (25 − 1)(−1)

a₂₅ = 20 − 24

= − 4 (असम्भव है)

इसी तरह से,

a₁₆ = 20 + (16 − 1)(−1)

a₁₆ = 20 − 15

a₁₆ = 5

अत:, 200 लट्टे 16 पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे हैं। (उत्तर)

20. एक आलू दौड़ (Potato race) में प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए आकृति 5.3)

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़ कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

हल:

दिया गया सूची है: 10, 16, 22, 28, 34,……….

पहला पद, a = 10

सार्व अंतर, d = 16 − 10 = 6

पदों की संख्या, n = 10

हम जानते हैं कि,

प्रथम n पदों का योग, S_n = \(\frac n2\) [2a + (n − 1)d]

S₁₀ = \(\frac {10}2\) [2(10) + (10 − 1)(6)]

= \(\frac {10}2\) [20 + 9 × 6]

= \(\frac {10}2\) (20 + 54)

= \(\frac {10}2\) × 74

= 10 × 37

= 370

अत:, प्रतियोगी को कुल 370 m दूरी दौड़नी पड़ेगी। (उत्तर)