NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5.1 arithmetic progression in hindi

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5.1 arithmetic progression in hindi

एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ प्रश्नावली 5.1 समाधान हिंदी में: क्या आप कक्षा 10 के गणित के एनसीईआरटी समाधान हिंदी में खोज रहे हैं, यदि हाँ तो आप सही जगह पर आए हैं? हमारे विशेषज्ञ ने सभी विषयों के लिए एनसीईआरटी कक्षा 10 के समाधान बहुत ही वर्णनात्मक तरीके से बनाए हैं ताकि कोई भी छात्र इसे आसानी से समझ सके। हिंदी में यह समाधान सभी छात्रों के लिए बहुत मददगार होने वाला है। हमने सभी विषयों के एनसीईआरटी कक्षा 10 के नोट्स भी बहुत ही सरल तरीकों से हिंदी में बनाए हैं।

अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?

(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिये किराया रू 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया रू 8 है।

हल:

1 किलो मीटर के लिए टैक्सी किराया = रू 15

प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए टैक्सी किराया = रू 8

2 किलो मीटर के लिए टैक्सी किराया = 15 + 8 = रू 23

3 किलो मीटर के लिए टैक्सी किराया = 23 + 8 = रू 31

4 किलो मीटर के लिए टैक्सी किराया = 31 + 8 = रू 39

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है। (उत्तर)

(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac 14\) भाग बाहर निकाल देता है।

हल:

माना, बेलन में हवा की मात्रा = V

पहली बार हवा निकालने पर बेलन में बची हुई हवा की मात्रा = \(V\;-\;\frac{1}{4}V\;=\;\frac{3}{4}V\)

दूसरी बार हवा निकालने पर बेलन में बची हुई हवा की मात्रा = \(\frac{3}{4}V\;-\;\frac{1}{4}\left (\frac{3}{4}V \right )\;=\;\frac{9}{16}V\)

तीसरी बार हवा निकालने पर बेलन में बची हुई हवा की मात्रा = \(\frac{9}{16}V\;-\;\frac{1}{4}\left (\frac{9}{16}V \right )\;=\;\frac{27}{64}V\)

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत रू 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत रू. 50 बढ़ती जाती है।

हल:

1 मीटर कुँआ खोदने में लागत = रू. 150

2 मीटर कुँआ खोदने में लागत = 150 + 50 = रू. 200

3 मीटर कुँआ खोदने में लागत = 200 + 50 = रू. 250

4 मीटर कुँआ खोदने में लागत = 250 + 50 = रू. 300

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है। (उत्तर)

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि रू. 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रबृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

हल:

जमा की गई राशि = रू. 10000

चक्रबृद्धि ब्याज दर =8%

1 वर्ष बाद मिश्रधन = 10000 + 10000 × \(\frac 8{100}\) = 10000 + 800 = रू. 10800

2 वर्ष बाद मिश्रधन = 10800 + 10800 × \(\frac 8{100}\) = 10800 + 864 = रू. 11664

3 वर्ष बाद मिश्रधन = 11664 + 11664 × \(\frac 8{100}\) = 11664 + 933.12 = रू. 12597.12

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं:

(i) a = 10, d = 10

हल:

दिया गया है, a = 10, d = 10

a₁ = a = 10

a₂ = a₁ + d = 10 + 10 = 20

a₃ = a₂ + d = 20 + 10 = 30

a₄ = a₃ + d = 30 + 10 = 40

अतः, दिये गये A.P. के प्रथम चार पद 10, 20, 30 तथा 40 हैं। (उत्तर)

(ii) a = – 2, d = 0

हल:

दिया गया है, a = – 2, d = 0

a₁ = a = – 2

a₂ = a₁ + d = – 2 + 0 = – 2

a₃ = a₂ + d = – 2 + 0 = – 2

a₄ = a₃ + d = – 2 + 0 = – 2

अतः, दिये गये A.P. के प्रथम चार पद – 2, – 2, – 2 तथा – 2 हैं। (उत्तर)

(iii) a = 4, d = – 3

हल:

दिया गया है, a = 4, d = – 3

a₁ = a = 4

a₂ = a₁ + d = 4 – 3 = 1

a₃ = a₂ + d = 1 – 3 = – 2

a₄ = a₃ + d = – 2 – 3 = – 5

अतः, दिये गये A.P. के प्रथम चार पद 4, 1, – 2 तथा – 5 हैं। (उत्तर)

(iv) a = – 1 d = \(\frac 12\)

हल:

दिया गया है, a = – 1, d = \(\frac 12\)

a₁ = a = – 1

a₂ = a₁ + d = – 1 + \(\frac 12\) = \(-\;\frac 12\)

a₃ = a₂ + d = \(-\;\frac 12\;+\;\frac 12\) = 0

a₄ = a₃ + d = 0 + \(\frac 12\) = \(\frac 12\)

अतः, दिये गये A.P. के प्रथम चार पद – 1, \(\frac 12\), 0 तथा \(\frac 12\) हैं। (उत्तर)

(v) a = – 1.25, d = – 0.25

हल:

दिया गया है, a&nbnbsp;= – 1.25, d = – 0.25

a₁ = a = – 1.25

a₂ = a₁ + d = – 1.25 – 0.25 = – 1.50

a₃ = a₂ + d = – 1.50 – 0.25 = – 1.75

a₄ = a₃ + d = – 1.75 – 0.25 = – 2.00

अतः, दिये गये A.P. के प्रथम चार पद – 1.25, – 1.50, – 1.75 तथा – 2.00 हैं। (उत्तर)

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिये प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:
(i) 3, 1, – 1, – 3 …

हल:

दिया गया A.P. है, 3, 1, – 1, – 3 …

प्रथम पद, a = 3

सार्व अंतर, d = द्वितीय पद – प्रथम पद

⇒  सार्व अंतर, d = 1 – 3 = – 2

⇒  सार्व अंतर, d = – 2 (उत्तर)

(ii) – 5, – 1, 3, 7 …

हल:

दिया गया A.P. है, – 5, – 1, 3, 7 …

प्रथम पद, a = – 5

सार्व अंतर, d = द्वितीय पद – प्रथम पद

⇒ सार्व अंतर, d = ( – 1) – ( – 5) = – 1+ 5 = 4 (उत्तर)

(iii) \(\frac 13,\;\frac 53,\;\frac 93,\;\frac {13}3\) ….

हल:

दिया गया A.P. है, \(\frac 13,\;\frac 53,\;\frac 93,\;\frac {13}3\) ….

प्रथम पद, a = \(\frac 13\)

सार्व अंतर, d = द्वितीय पद – प्रथम पद

⇒ सार्व अंतर, d = \(\frac 53\;-\;\frac 13\;=\;\frac 43\) (उत्तर)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 …

हल:

दिया गया A.P. है, 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 …

प्रथम पद, a = 0.6

सार्व अंतर, d = द्वितीय पद – प्रथम पद

⇒  सार्व अंतर, d = 1.7 – 0.6

⇒  सार्व अंतर, d = 1.1 (उत्तर)

4. निम्नलिखित में से कौन कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।

(i) 2, 4, 8, 16 …

हल:

दिया गया A.P. है, 2, 4, 8, 16 …

a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2

a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4

a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(ii) 2, \(\frac 52\), 3, \(\frac 72\) ….

हल:

दिया गया A.P. है, 2, \(\frac 52\), 3, \(\frac 72\) ….

a₂ – a₁ = \(\frac 52\;-2 =\;\frac 12\)

a₃ – a₂ = \(3-\;\frac 52=\;\frac 12\)

a₄ – a₃ = \(\frac 72\;-3 =\;\frac 12\)

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = \(\frac 12\)

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = \(\frac 72\;+\frac 12 =\;4\)

छठा पद, a₆ = a₅ + d = \(4\;+\frac 12\;=\frac 92\)

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = \(\frac 92\;+\frac 12 =\;5\) (उत्तर)

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2 …

हल:

दिया गया A.P. है, – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2 …

a₂ – a₁ = (– 3.2) – (– 1.2) = – 2

a₃ – a₂ = (– 5.2) – (– 3.2) = – 2

a₄ – a₃ = (– 7.2) – (– 5.2) = – 2

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = – 2

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = – 7.2 – 2 = – 9.2

छठा पद, a₆ = a₅ + d = – 9.2 – 2 = – 11.2

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = – 11.2 – 2 = – 13.2 (उत्तर)

(iv) – 10, – 6, – 2, 2 …

हल:

दिया गया A.P. है, – 10, – 6, – 2, 2 …

a₂ – a₁ = (– 6) – (– 10) = 4

a₃ – a₂ = (– 2) – (– 6) = 4

a₄ – a₃ = (2) – (– 2) = 4

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = 4

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = 2 + 4 = 6

छठा पद, a₆ = a₅ + d  = 6 + 4 = 10

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = 10 + 4 = 14 (उत्तर)

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 …

हल:

दिया गया A.P. है, 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2

a₃ – a₂ = (3 + 2√2) – (3+√2) = 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2

a₄ – a₃ = (3+3√2) – (3+2√2) = 3+3√2 – 3 – 2√2 = √2

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = √2

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = (3 + √2) +√2 = 3 + 4√2

छठा पद, a₆ = a₅ + d  = (3 + 4√2) + √2 = 3 + 5√2

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = (3 + 5√2) + √2 = 3 + 6√2 (उत्तर)

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ….

हल:

दिया गया A.P. है, 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ….

a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02

a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002

a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(vii) 0, – 4, – 8, – 12 …

हल:

दिया गया A.P. है, 0, – 4, – 8, – 12 …

a₂ – a₁ = (–4) – 0 = – 4

a₃ – a₂ = (– 8) – (– 4) = – 4

a₄ – a₃ = (– 12) – (– 8) = – 4

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = – 4

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d  = – 12 – 4 = – 16

छठा पद, a₆ = a₅ + d = – 16 – 4 = – 20

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = – 20 – 4 = – 24 (उत्तर)

(viii) \(-\;\frac 12,\;-\;\frac 12,\;-\;\frac 12,\;-\;\frac 12\) ….

हल:

दिया गया A.P. है, \(-\;\frac 12,\;-\;\frac 12,\;-\;\frac 12,\;-\;\frac 12\) ….

a₂ – a₁ = \(\left ( -\frac{1}{2} \right )\;-\;\left ( -\frac{1}{2} \right )\;=-\;\frac{1}{2}\;+\;\frac{1}{2}\) = 0

a₃ – a₂ = \(\left ( -\frac{1}{2} \right )\;-\;\left ( -\frac{1}{2} \right )\;=-\;\frac{1}{2}\;+\;\frac{1}{2}\) = 0

a₄ – a₃ = \(\left ( -\frac{1}{2} \right )\;-\;\left ( -\frac{1}{2} \right )\;=-\;\frac{1}{2}\;+\;\frac{1}{2}\) = 0

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = 0

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d  = \(\left (-\;\frac{1}{2} \right )\;+\;0\;=\;-\;\frac{1}{2}\)

छठा पद, a₆ = a₅ + d  = \(\left (-\;\frac{1}{2} \right )\;+\;0\;=\;-\;\frac{1}{2}\)

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = \(\left (-\;\frac{1}{2} \right )\;+\;0\;=\;-\;\frac{1}{2}\) (उत्तर)

(ix) 1, 3, 9, 27 …

हल:

दिया गया A.P. है, 1, 3, 9, 27 …

a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2

a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6

a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(x) a, 2a, 3a, 4a …

हल:

दिया गया A.P. है, a, 2a, 3a, 4a …

a₂ – a₁ = 2a – a = a

a₃ – a₂ = 3a – 2a = a

a₄ – a₃ = 4a – 3a = a

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = a

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = 4a + a = 5a

छठा पद, a₆ = a₅ + d = 5a + a = 6a

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = 6a + a = 7a (उत्तर)

(xi) a, a², a³, a⁴ …

हल:

दिया गया A.P. है, a, a², a³, a⁴ …

a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)

a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)

a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³(a – 1)

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(xii) √2, √8, √18, √32 …

हल:

दिया गया A.P. है, 2, √8, √18, √32 …

a₂ – a₁ = √8 – √2  = 2√2 – √2 = √2

a₃ – a₂ = √18 – √8 = 3√2 – 2√2 = √2

a₄ – a₃ = 4√2 – 3√2 = √2

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = √2

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = √32 + √2 = 4√2+√2 = 5√2 = √50

छठा पद, a₆ = a₅ + d = 5√2 + √2 = 6√2 = √72

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = 6√2 + √2 = 7√2 = √98 (उत्तर)

(xiii) √3, √6, √9, √12 …

हल:

दिया गया A.P. है, √3, √6, √9, √12 …

a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3×√2 – √3 = √3(√2 – 1)

a₃ – a₂ = √9 – √6 = 3 – √6 = √3(√3 – √2)

a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – √3×√3 = √3(2 – √3)

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(xiv) 1², 3², 5², 7² …

हल:

दिया गया A.P. है, 1², 3², 5², 7² …

या, 1, 9, 25, 49 …..

a₂ – a₁ = 9 − 1 = 8

a₃ − a₂ = 25 − 9 = 16

a₄ − a₃ = 49 − 25 = 24

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर नहीं है, अत: संख्याओं की सूची A.P. नहीं है। (उत्तर)

(xv) 1², 5², 7², 73 …

हल:

दिया गया A.P. है, 1², 5², 7², 73 …

या, 1, 25, 49, 73 …

a₂ − a₁ = 25 − 1 = 24

a₃ − a₂ = 49 − 25 = 24

a₄ − a₃ = 73 − 49 = 24

चूँकि अगले तथा पिछले पदों के बीच अंतर बराबर है, अत: संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर, d = 24

A.P. के तीन और पद निम्नलिखित होंगे:

पाँचवा पद, a₅ = a₄ + d = 73 + 24 = 97

छठा पद, a₆ = a₅ + d = 97 + 24 = 121

सातवां पद, a₇ = a₆ + d = 121 + 24 = 145 (उत्तर)

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