bharti bhawan class 10th math solution mensuration प्रश्नावली-2

bharti bhawan class 10th math solution mensuration

अध्याय-2

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आयतन और पृष्ठ-क्षेत्रफल VOLUMES AND SURFACE AREAS

घनाभ (Cuboid)

घनाभ का आयतन = lx bxh घन इकाई

घनाभ का पृष्ठ-क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) वर्ग इकाई

घनाभ का विकर्ण = √(l²+b²h²) ईकाई

1. घन का आयतन V= (भुजा)³ घन इकाई
2. घन का विकर्ण = √3x भुजा इकाई
3. घन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 6x भुजा² वर्ग इकाई – समबेलन (Right Circular Cylinder)
4. समबेलन का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh
5. समबेलन का पूर्ण पृष्ठ-क्षेत्रफल = 2πr(r+h)
6. समबेलन का आयतन V= πr²h

शंकु (Cone))

11. शंकु का वक़ पृष्ठ, A= πrl वर्ग इकाई।

शंकु का पूर्ण पृष्ठ S= πr(l + r) वर्ग इकाई।

शंकु का आयतन, V = 1/3πr²h घन इकाई।

गोला (Sphere)]

12. संपूर्ण पृष्ठ = 4πr²

• गोला का आयतन V = =4/3πr³ घन इकाई।

 

प्रश्नावली-2

1. 8 सेमी किनारे वाले एक घन को 2 सेमी किनारे वाले कितने घनों में का किया जा सकता है। फिर प्राप्त सभी घनों का एकत्रित पृष्ठ-क्षेत्रफल ज्ञात करें

इल घन का आयतन = भुजा³ = 8³ = 512 सेमी

घन का आयतन = भुजा³ = (2)³ = 2x2x2 = 8 सेमी –

अभीष्ठ संख्या =512/8= 8

एक छोटे घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 6 x भुजा² । . .

= 6x (2)² = 6×4=24 सेमी .. कुल घनों का पृष्ठ क्षेत्रफल = 64×24 सेमी

=1536 सेमी उत्तर

2. 4.2 सेमी त्रिज्या का एक धातु का गोला पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले रूप में डाला जाता है। बेलन की ऊँचाई निकालें।

हल : गोला का आयतन =4/3πr³

                    4/3xπ2³

बेलन का आयतन =πr²h

 

 

 

3. तीन घनाकार धातु-पिंडों की भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी० 4 सेमी और 5 सेमी० ” पिघलाकर एक घनाकार पिंड बनाया गया है, तो इस नय धन की (a) भुजा और (b) पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल निकालें।

उत्तर – 3 सेमी० भुजा वाले घन का आयतन =(भुजा)³  

(3)³                                   = 27

= (4)³                                                 = 64

= (5)³                                 = 125

तीनों घनों को जोड़ा गया है.

परिणामी घन का आयतन = (27 + 64 + 125) = 216 सेंमी³ .’

माना कि परिणामी घन का किनारा = a सेमी. है। तो परिणामी घन का आयतन = (भुजा)³   = a³

प्रश्न से, a³  = 216 या

a = 3√216 = 3√2x2x2x3x3x3

= 2×3 = 6 सेमी ।

(b) परिणामी घन के पर्ण पष्ठ क्षेत्रफल = 6 x भुजा²  = 6 x (6)² = 216 सेमी. –

प्रश्न 4.

1.75 सेमी व्यास.और 2 सेमी मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को गलाकर 5.5 सेमी X3.5 सेमी आयाम का एक घनाभ बनाया जा सकता है? ।

हल : एक सिक्के का आयतन =πr²h

|आयतन = लम्बाई x चौडाई x ऊँचाई = 5.5 x 10×3.5

5. 15 मीटर लम्बे और 12 मीटर चौड़े खेत के एक कोने में 8 मि० लम्बा 2.5 मीटर चौड़ा तथा 2 मीटर गहर गड्ढा खोदा गया है और शेष भागों में समान रूप से फैला दिया गया है। ऊँचा उठ गया है।

उत्तर- आयताकार खेत की लम्बाई =15 मीटर तथा चौडाई-17

.: क्षेत्रफल = ल० x चौ० = 15×12

= 180 वर्ग मी० गड्ढे का क्षेत्रफल = ल० x गहराई

=8×2.5 = 20 मी०²

–

खेत के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें मिटटी फैलायी जायेगी = (180-20) = 160 वर्ग मी० माना कि खेत का तल ॥ मीटर ऊँचा उठता है तो

160 xh = 8x2x2.5

160 xh = 40

  h=40/160=1/4 =100/4 =25 cm

अतः खेत तल – .25मी or 25cm  ऊँचा उठ जाता है।

6. 22 सेमी किनारे वाले एक ठोस धन को पिघलाकर एक 7 सेमी लंबा वृताकार समबेलन बनाया गया है। बेलन की-त्रिज्या ज्ञात करें।

हल : 22 सेमी किनारे वाले घन का आयतन = (भुजा)³  = (22)³  

7 सेमी लंबे बेलनाकार तार का आयतन = πr²h

प्रश्न से, 22 x 22×22 =22/7×r ²x7

22 x 22×22 =22×r ²

r ² =22×22× 22/22=

r=√22×22

r=22 सेमी.।

7.किसी लंबवृत्तीय ठोस बेलन के आधार की त्रिज्या 4 सेमी तथा इस ठोस को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या तथा 1.5 सेमी ऊँचाई वाला बेलन बनाए जा सकते हैं?

 हल : 4 सेमी त्रिज्या तथा 3 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन = πr²h = π(4)² × 3 = πx4x4x3 = 48π सेमी’ 2 सेमी त्रिज्या तथा 1.5 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन

= πx (2)² x 1.5 = 6π सेमी’

अभिष्ट बेलन की संख्या = 48π/6π= 8 उत्तर। .

 

प्रश्न 8.

7 सेमी ऊंचाई के ठोस सम्बेलन जिसकी आधार की त्रिज्या  2 सेमी है को पिघलाकर कितने 2 सेमी  किनारे वाले घनाकार पासे बनाए जा सकते है ?

हल : 2 सेमी त्रिज्या तथा 7 सेमी ऊँचाई वाले समबेलन का आयतन = πr²h

 π(2)2×7 = π×4×7 = 28π घन सेमी

पासे का आयतन = (भुजा)³  = (2)³  = 2×2 x 2 घन सेमी

. पासे की अभिष्ट संख्या = 28×22/8×7 =11

10. 20 मीटर तथा 7 मीटर व्यास का एक कुँआ खोदा गया है और कुँए से निकाली गई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मी. x 14 मी विस्तार का एक चबुतरे बनाया गया है। चबुतरे की ऊँचाई मालुम कीजिए।

हल – :: कुँए की ऊँचाई h = 20 मीटर,

व्यास = 7 मी० :. त्रिज्या =7/2

कुऐ का आयतन = πr²h = 22/7 ×7/2 ×/2 ×20= 770 वर्ग मी०

माना कि चबुतरे की ऊंचाई = h मी. है।

प्रश्न से, 770 = 22x14xh –

  h=770/22×14=5/2 =2.5

= 25 2×142 मतः चबुतरे की ऊँचाई = 2.5 मी०

11.लोहे का एक टुकड़ा लम्बा वृत्तीय बेलन के रूप में है | जिसका व्यास 1.5 मि० और लम्बाई 3.5 मि० है | टुकड़ा का आयतन ज्ञात कीजिए जिस टुकड़े को पिघकर एक छड़ के रूप में बनाया गया है , जिसका आद्दर वर्गाकार है तथा इसकी भुजा की लम्बाई 5 सेमी है , छड की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए

उत्तर

लम्ब्वृत्तीय बेलन के टुकड़े का व्यास = 1.5 मी

त्रिज्या =1.5/2

माना की छड़ की लम्बाई h मी0 है तो छड़ का आयतन = छड के आधार का क्षेत्रफल ×लम्बाई =5² ×h =25h

प्रश्न से बेलनाकार तुकडे का आयतन = छड का आयतन

त्रिज्या ,

 

 

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